Moyenne arithmétique de deux nombres

Définition

La moyenne arithmétique de deux nombres \(a\) et \(b\) est \(\dfrac{a+b}{2}\).

Exemple

La moyenne arithmétique de 8 et 19 est \(\dfrac{8+19}{2}=\dfrac{27}{2}=13{,}5\).

Propriété

Trois nombres \(a,b,c\) tels que \(a<b<c\)  sont trois termes consécutifs d'une suite arithmétique lorsque \(b\) est la moyenne arithmétique de \(a\) et de \(c\), c'est-à-dire \(b=\dfrac{a+c}2\).

Exemple

Prenons \(a=12\) ; \(b=20{,}5\) et \(c=29\) et vérifions si ces trois termes sont des termes consécutifs d'une suite arithmétique. On calcule la moyenne arithmétique de \(a\) et \(c\).
On a \(\dfrac{a+c}{2}=\dfrac{12+29}{2}=\dfrac{41}{2}=20{,}5=b\).
Donc \(a\), \(b\) et \(c\) sont bien trois termes consécutifs d'une suite arithmétique.

Remarque

On peut également regarder l'écart entre \(a\) et \(b\), puis entre \(b\) et \(c\), et vérifier si ces deux écarts sont égaux.
On a \(b-a=20{,}5-12=8{,}5\) et \(c-b=29-20{,}5=8{,}5\), donc \(b-a=c-b\) et donc \(a\), \(b\) et \(c\) sont bien trois termes consécutifs d'une suite arithmétique.